Aljabar Linear Matriks 1

 NAMA                    : PUPUT AMALIYAH 

 NIM                         : 202031069

 FAKULTAS             : TELEMATIKA ENERGI

PROGRAM STUDI : TEKNIK INFORMATIKA 

MATERI                   : RESUME MATRIKS

NAMA DOSEN        : IBU Efy Yosrita S.Si.,M.Kom

MATRIKS

Apa itu Matriks?

matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan elemen-elemen atau komponen-komponen matriks.Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.

Pada gambar diatas disebut matriks A dengan banyak unsur "m x n", banyaknya unsur disebut juga sebagai ordo sehingga matriks A dapat disebut sebagai matriks yang berordo "m x n".

Istilah- istilah Matriks

• Lambang matrik di gunakan untuk huruf besar (A,B,C,....Z)
• Elemen matrik digunakan untuk huruf kecil (a,b,c,...,z)
• Bagian mendatar disebut baris
• Bagian tegak disebut kolom
• Indeks-I menyatakan baris dan indeks-J menyatakan kolom
• Jumlah baris = m sedangkan jumlah  kolom = n
• Ukuran Matrik di sebut ordo
• Matrik dengan jumlah baris=m dan jumlah kolom=n disebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn).

Contoh:

Perhatikan jaringan berikut!

aij=1,jika node i dan j terhubung dan 0, jika node i dan j tidak terhubung.

Matrik jaringan adalah sebagi berikut!

JENIS-JENIS MATRIK

1.Matrik bujur sangkar

     A  Dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama.Matrik A dikatakan berordo n.

Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11,a22,a33,a44, .... .

2.Matrik Segitiga Atas

     matrik bujur sangkar  yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol.

3.Matrik Segitiga Bawah

     Kebalikan dari segitiga atas,matriks ini berbentuk bujur sangkar Yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai 0

4.Matrik Diagonal = D

      Matrik bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol dan elemen diagonal utama tak nol.kecuali elemen-elemen pada diagonal utama.

5.Matrik Identitas = I

    matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1, dan semua elemen-elemen selain diagonal utama 0.matriks ini biasa dilambangkan dengan I

    

6.Transpose Matrik =AT

     Transpose matrik A` ditulis AT adalah 2sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolom A,dan kolom AT adalah baris A.bila A berukuran 1(mxn),AT berukuran (nxm)

7.Matrik Simetrik A=AT

       A dikatakan metrik simetrik,bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimna,AT=A

8.Matrik Baris

     Matrik baris adalah matrik yang terdiri dari satu baris 

contoh : [1 3 4 9 ]

9. Matrik kolom

      matrik kolom adalah matrik yang terdiri dari satu kolom

10.Matrik Nol

      Matrik nol adalah semua elemennya bernilai nol

contoh:

11.Matrik skalar

        matriks skalar adalah yang elemen-elemen diagonal utaman semuanya sama

contoh:

.

12.Matrik mendatar 

        matrik mendatar adalah matrik yang jumlah kolom lebih banyak dari jumlah baris

contoh : 

13. Matrik Tegak

         matrik tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak dari jumlah kolom.

contoh : 

14.Matrik Skew Simetris 

       Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan $A$ adalah matriks persegi. Matriks $A$ dikatakan skew simetris jika dan hanya jika $A^T=-A$. Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.

contoh :

OPERASI MATRIKS

  

1. kesamaan A=B

         matrik A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya A dan B berukuran sama dan setiap elemen yang seletak nilainya sama,aij=bij

contoh :

A dan B berukuran sama (2x3),tetapi A ≠ B,karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama

 

2.perkalian dengan skalar,KA

       perkalian matrik,A =[aij] dengan skalar tak nol K ditulis kA,didefinikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k,yakni : KA=k[aij]=[kaij]

contoh:

3.Penjumlah (A+B)

    Matrik,A=(aij) dan B (bij) dikatakan dapat dijumlahkan apabila A dan B berukuran atau berordo sama.bilamana A+B = C,maka elemen matrik diberikan : (aij) + (bij) = (cij) elemen yang seletak di jumlahkan.

 contoh : 

Maka :

Sifat Penjumlah Matrik 

Terdapat matrik A,B,C dan matrik nol O sedemikian rupa sehingga berlaku:

1. A + B = B + A (sifat komutatif)
2. ( A + B ) + C = A + ( B+C) ( sifat asosiatif)
3. A + Z = Z + A = A (Z adalah identitas penjumlahan )
4. 4 + (-A) = ( -A ) + A =Z (-A merupakan invers penjjumlahan dari A)

4. Pengurangan Matrik

      Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

5.Perkalian Matrik ( AB= C )

matrik A = [aij] (m=n) dan B=[bij] (pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana 

jumlah kolom A dan jumlah baris B sama.[n=p]

DETERMINAN MATRIK

    Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det (A) = |A|. didefinisi sebagai

jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda " A".

Kasus n=1

       A = [a]. det(A) = |a| = a

pada kasus "n=2"

, maka

det (A) = ad - bc

pada kasus "n=3",menggunakan metode sarrus

 

dengan menggunakan metode sarrus,det (A)=|A|

Metode ekspansi laplace

 

A adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn)

1. minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij diartikan sebagai 

    determinan matriks yang berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara 

   menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.

2.kofaktor elemen matriks A merupakan baris ke-i dan kolom ke-j ditulis c-ij

   didefinikan sebagai :

contoh:

Contoh Minor :

METODE CHIO

Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan

semua bilangan real.Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh A atau det(A).

terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu 

metode sarrus,Ekspasi kofaktor,dan kondensasi (penyusutan) CHIO.Kondensasi CHIO 

merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan 

matriks yang memiliki ordo 𝑛×n dengan                    .Kondensasi chio menyusutkan

determinan matriks ordo 𝑛×n menjadi ordo (n-1) x (n-1) dan dikalikan dengan elemen a11.

Proses kondensasi ini berakhir pada determinan  matrik ordo 2x2. tanpa mengurangi perumunan,

dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen.Apabila nilai 

elemen maka dilakukan proses operasi baris atau kolom pada determinan matriks.

menentukan determinan 3x3 dengan metode chio memiliki syarat sebagai berikut :

contoh soal :

Hitunglah Det.A dari :

karena a11= 2 dan n=3,maka :

     

contoh :

Hitung lah det (A) dari :

Metode Crout Dekomposisi

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode crout adalah :

kasus n=3

Dalam membahas metode reduksi crout,tinjau matriks 3x3 berikut:

Karena LU=A,maka hasil perkalian L dan U itu dapat ditulis sebagai:

Iterasi 1

Iterasi 2

Iterasi 3

Iterasi 4

Iterasi 5

CONTOH :

Hitunglah determinan matriks 3x3 berikut dengan metode dekomposisi

Jawab :

kasus n=4 ( metode crout)

Rumus iterasi perhitungannya adalah :

Metode Dekomposisi Doolittle

metode doolittle merupakan sebuah algoritma faktorisasi LU yang mensyaratkan 

elemen-elemen pada diagonal utama matrik  L bernilai 1,sehingga matrik L berbentuk:

rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :

untuk kasus n=3

Rumus perhitungannya:

untuk kasus n=4

Rumus perhitungannya:

Invers Matriks Dengan Metode Adjoint 

Pengertian Invers Matriks:

Contoh : AB = BA = I

Metode Adjoint  matriks
   jika A dalah matriks bujur sangkar berordo (nxn). maka kofaktor elemen matrik ^a_ij.

dimana,

Untuk kasus n=2

untuk kasus n=3

Contoh :

Jawab:

Untuk kasus n=4

contoh soal:

det (A) =-1

Pembuktian A x B

METODE OBE 

Ketentuan :

- Menukar baris dengan baris lainnya 

- Mengkalikan sebuah baris dengan billangan bukan nol

- Menjumlahkan kelipatan baris dengan baris lainnya

CONTOH:

Perkalian Matrik Elementer

(1) Matrik elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang 

dikenakan pada matriks identitas.

(2) Setiap matriks elementer mempunyai invers,dan setiap 

matriks bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers equivalen

baris terhadap matriks identitas.

(3)Akibatnya,jika:

CONTOH : 3X3

Menghitung E1,E2:

CONTOH: 4 x 4

Menghitung E1,E2

Menghitung E3:

Menghitung E4 dan Invers: