Aljabar Linear Matriks 1

-

 NAMA                    : PUPUT AMALIYAH 

 NIM                         : 202031069
 FAKULTAS             : TELEMATIKA ENERGI
PROGRAM STUDI : TEKNIK INFORMATIKA 
MATERI                   : RESUME MATRIKS
NAMA DOSEN        : IBU Efy Yosrita S.Si.,M.Kom


MATRIKS

Apa itu Matriks?

matriks adalah kumpulan bilangan (atau unsur) yang disusun menurut baris dan kolom tertentu. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan elemen-elemen atau komponen-komponen matriks.Nama sebuah matriks biasanya dinyatakan dengan huruf kapital. Dalam sebuah matriks ada istilah ordo. Yang dimaksud dengan ordo atau ukuran matriks adalah banyaknya baris x banyak kolom dalam sebuah matriks.
Pada gambar diatas disebut matriks A dengan banyak unsur "m x n", banyaknya unsur disebut juga sebagai ordo sehingga matriks A dapat disebut sebagai matriks yang berordo "m x n".


Istilah- istilah Matriks

  • Lambang matrik di gunakan untuk huruf besar (A,B,C,....Z)
  • Elemen matrik digunakan untuk huruf kecil (a,b,c,...,z)
  • Bagian mendatar disebut baris
  • Bagian tegak disebut kolom
  • Indeks-I menyatakan baris dan indeks-J menyatakan kolom
  • Jumlah baris = m sedangkan jumlah  kolom = n
  • Ukuran Matrik di sebut ordo
  • Matrik dengan jumlah baris=m dan jumlah kolom=n disebut dengan ukuran (mxn) atau matrik berordo (mxn).
Contoh:

Perhatikan jaringan berikut!













aij=1,jika node i dan j terhubung dan 0, jika node i dan j tidak terhubung.
Matrik jaringan adalah sebagi berikut!

JENIS-JENIS MATRIK

1.Matrik bujur sangkar
     A  Dikatakan matrik bujur sangkar jika jumlah baris dan jumlah kolom A sama.Matrik A dikatakan berordo n.
Elemen-elemen diagonal utama A adalah a11,a22,a33,a44, .... .

2.Matrik Segitiga Atas
     matrik bujur sangkar  yang elemen-elemen di bagwah diagonal utamanya (kiri atas ke kanan bawah) bernilai nol.
3.Matrik Segitiga Bawah
     Kebalikan dari segitiga atas,matriks ini berbentuk bujur sangkar Yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya bernilai 0
4.Matrik Diagonal = D
      Matrik bujur sangkar yang semua elemen di luar diagonal utama adalah nol dan elemen diagonal utama tak nol.kecuali elemen-elemen pada diagonal utama.
5.Matrik Identitas = I
    matriks diagonal yang elemen-elemen pada diagonal utama semuanya bernilai 1, dan semua elemen-elemen selain diagonal utama 0.matriks ini biasa dilambangkan dengan I
    
6.Transpose Matrik =AT
     Transpose matrik A` ditulis AT adalah 2sebuah matrik yang diperoleh dari A dimana baris AT adalah kolom A,dan kolom AT adalah baris A.bila A berukuran 1(mxn),AT berukuran (nxm)
7.Matrik Simetrik A=AT
       A dikatakan metrik simetrik,bilamana A adalah matrik bujur sangkar dimna,AT=A

8.Matrik Baris
     Matrik baris adalah matrik yang terdiri dari satu baris 

contoh : [1 3 4 9 ]

9. Matrik kolom
      matrik kolom adalah matrik yang terdiri dari satu kolom
10.Matrik Nol
      Matrik nol adalah semua elemennya bernilai nol

contoh:






11.Matrik skalar
        matriks skalar adalah yang elemen-elemen diagonal utaman semuanya sama
contoh:

.








12.Matrik mendatar 
        matrik mendatar adalah matrik yang jumlah kolom lebih banyak dari jumlah baris
contoh : 








13. Matrik Tegak
         matrik tegak adalah matriks yang memiliki jumlah baris lebih banyak dari jumlah kolom.
contoh : 








14.Matrik Skew Simetris 
       Matriks Skew Simetris (Anti Simetri), yaitu suatu matriks persegi yang apabila ditransposkan akan sama dengan negatif dari matriks semula. Misalkan A adalah matriks persegi. Matriks A dikatakan skew simetris jika dan hanya jika A^T=-A. Syarat lainnya yaitu semua elemen yang berada di diagonal utama bernilai nol.
contoh :








OPERASI MATRIKS
  
1. kesamaan A=B
         matrik A=[aij] dan B=[bij] dikatakan sama ditulis A=B jika hanya A dan B berukuran sama dan setiap elemen yang seletak nilainya sama,aij=bij
contoh :






A dan B berukuran sama (2x3),tetapi A ≠ B,karena terdapat elemen seletak nilainya tidak sama
 

2.perkalian dengan skalar,KA
       perkalian matrik,A =[aij] dengan skalar tak nol K ditulis kA,didefinikan bahwa setiap elemen A dikalikan dengan konstanta tak nol k,yakni : KA=k[aij]=[kaij]
contoh:

3.Penjumlah (A+B)
    Matrik,A=(aij) dan B (bij) dikatakan dapat dijumlahkan apabila A dan B berukuran atau berordo sama.bilamana A+B = C,maka elemen matrik diberikan : (aij) + (bij) = (cij) elemen yang seletak di jumlahkan.
 contoh : 
Maka :














Sifat Penjumlah Matrik 

Terdapat matrik A,B,C dan matrik nol O sedemikian rupa sehingga berlaku:
  1. A + B = B + A (sifat komutatif)
  2. ( A + B ) + C = A + ( B+C) ( sifat asosiatif)
  3. A + Z = Z + A = A (Z adalah identitas penjumlahan )
  4. 4 + (-A) = ( -A ) + A =Z (-A merupakan invers penjjumlahan dari A)
4. Pengurangan Matrik
      Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.








5.Perkalian Matrik ( AB= C )
matrik A = [aij] (m=n) dan B=[bij] (pxq) dikatakan dapat dikalikan ditulis AB bilamana 
jumlah kolom A dan jumlah baris B sama.[n=p]





DETERMINAN MATRIK

    Fungsi determinan matrik bujur sangkar A dinyatakan dengan det (A) = |A|. didefinisi sebagai
jumlahan hasil kali elementer elemen-elemen bertanda " A".

Kasus n=1

       A = [a]. det(A) = |a| = a

pada kasus "n=2"




, maka




det (A) = ad - bc






pada kasus "n=3",menggunakan metode sarrus

 
dengan menggunakan metode sarrus,det (A)=|A|



Metode ekspansi laplace
 
A adalah matrik bujur sangkar berordo (nxn)

1. minor elemen matrik A baris ke-i dan kolom ke-j (a-ij) ditulis Mij diartikan sebagai 
    determinan matriks yang berordo (n-1)x(n-1) yang diperoleh dari A dengan cara 
   menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j.

2.kofaktor elemen matriks A merupakan baris ke-i dan kolom ke-j ditulis c-ij
   didefinikan sebagai :

contoh:


Contoh Minor :

METODE CHIO
Determinan merupakan suatu fungsi dari himpunan semua matriks persegi ke himpunan
semua bilangan real.Determinan matriks A biasanya dinyatakan oleh A atau det(A).
terdapat beberapa metode yang digunakan untuk menentukan determinan matriks yaitu 
metode sarrus,Ekspasi kofaktor,dan kondensasi (penyusutan) CHIO.Kondensasi CHIO 
merupakan salah satu metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan 
matriks yang memiliki ordo 𝑛×n dengan                    .Kondensasi chio menyusutkan
determinan matriks ordo 𝑛×n menjadi ordo (n-1) x (n-1) dan dikalikan dengan elemen a11.
Proses kondensasi ini berakhir pada determinan  matrik ordo 2x2. tanpa mengurangi perumunan,
dalam tulisan ini menggunakan matriks persegi dengan syarat elemen.Apabila nilai 
elemen maka dilakukan proses operasi baris atau kolom pada determinan matriks.

menentukan determinan 3x3 dengan metode chio memiliki syarat sebagai berikut :









contoh soal :

Hitunglah Det.A dari :





karena a11= 2 dan n=3,maka :








     




contoh :

Hitung lah det (A) dari :




Metode Crout Dekomposisi

Rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode crout adalah :



kasus n=3
























Dalam membahas metode reduksi crout,tinjau matriks 3x3 berikut:





Karena LU=A,maka hasil perkalian L dan U itu dapat ditulis sebagai:








Iterasi 1






Iterasi 2





Iterasi 3




Iterasi 4




Iterasi 5




CONTOH :

Hitunglah determinan matriks 3x3 berikut dengan metode dekomposisi






Jawab :































kasus n=4 ( metode crout)


Rumus iterasi perhitungannya adalah :

















Metode Dekomposisi Doolittle

metode doolittle merupakan sebuah algoritma faktorisasi LU yang mensyaratkan 
elemen-elemen pada diagonal utama matrik  L bernilai 1,sehingga matrik L berbentuk:









rumus umum untuk mencari L dan U dengan metode Doolittle adalah :



untuk kasus n=3


Rumus perhitungannya:


untuk kasus n=4


Rumus perhitungannya:





Invers Matriks Dengan Metode Adjoint 

Pengertian Invers Matriks:



Contoh : AB = BA = I




Metode Adjoint  matriks
   jika A dalah matriks bujur sangkar berordo (nxn). maka kofaktor elemen matrik aij.






dimana,










Untuk kasus n=2








untuk kasus n=3






Contoh :


Jawab:


Untuk kasus n=4




contoh soal:



det (A) =-1
















Pembuktian A x B














METODE OBE 

Ketentuan :
- Menukar baris dengan baris lainnya 
- Mengkalikan sebuah baris dengan billangan bukan nol
- Menjumlahkan kelipatan baris dengan baris lainnya













CONTOH:



































Perkalian Matrik Elementer

(1) Matrik elementer adalah matriks yang diperoleh dari operasi elementer yang 
dikenakan pada matriks identitas.
(2) Setiap matriks elementer mempunyai invers,dan setiap 
matriks bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers equivalen
baris terhadap matriks identitas.
(3)Akibatnya,jika:


CONTOH : 3X3



Menghitung E1,E2:










CONTOH: 4 x 4



Menghitung E1,E2
















Menghitung E3:



Menghitung E4 dan Invers:




Lokasi: Binuang Kp. Dalam, Kec. Pauh, Kota Padang, Sumatera Barat, Indonesia

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - KALKULUS 1

-
Gambar
 FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI Fungsi 'f ' adalah suatu aturan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan (daerah asal) dengan tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua (daerah hasil). Persamaan fungsi, ditulis dengan y = f(x) dengan x disebut variabel bebas dan y veriabel tak bebas, dimana nilai y tergantung pada nilai variabel bebas x. Grafik fungsi y = f(x)adalah himpunan semua titik (x, y) di    R 2  , sedemikian rupa sehingga (x, y) merupakan pasangan bilangan berurut. Model - model Matematika Aplikasi Termodinamika.Menurut hukum gas ideal, besarnya tekanan P tergantung pada volume (V) dan temperatur (T). Persamaannya adalah : Aplikasi Fisika.Kecepatan dan tinggi peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo pada sudut 'A' dari horizontal diberikan oleh persamaan : Aplikasi Kimia. Jika konsetrasi suatu zat ,mula-mula nol,dan jika laju perubahan konsetrasi adalah konstan, maka konsentrasi pada waktu tertentu diberikan oleh persamaan : Klasifikasi Fungsi : -) Fu
Baca selengkapnya

SISTEM BILANGAN REAL - KALKULUS 1

-
Gambar
    Assalamu'alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh, Nama                         : Puput Amaliyah NIM                                 : 202031069 Kelas                             : B Dosen Pengampu     : Ibu Efy Yosrita S.Si.,M.Kom. Fakultas                        : Telematika Energi Program Studi           : S1 Teknik Informatika SISTEM BILANGAN (REAL)     Bilangan Kompleks                    Bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri atas bilangan ril dan bilangan imajiner yang dilambangkan dengan a + ib. Dengan a dan b merupakan bilang real. Bilangan tersebut menjadi bilangan kompleks sebab keberadaan "i" atau dapat disebut sebagai bilangan imajiner. Pada bilangan kompleks berbentuk a+ib, bagian "a" merupakan bagian real, sedangkan "ib" merupakan bilangan bagian imajinernya.             Bilangan kompleks terbagi menjadi dua yaitu Bilangan Ril dan Bilangan Imajiner : 1. Bilangan Imajiner (i)            Bilangan imajiner adalah bilangan yang dide
Baca selengkapnya

Puput Amaliyah - 202031069 - Tekkom G

-
Gambar
 Teknik Kompilasi 14. Apa saja metode yang dipakai untuk mengirimkan parameter pada teknik kompilasi, jelaskan masing-masing metode tersebut dengan studi kasus? 15. Salah satu peran pengurai dalam teknik kompilasi adalah mengatasi kesalahan syntax, jelaskan 4 strategi dalam pemulihan kesalahan tersebut? JAWABAN 14. M etode yang dipakai untuk mengirimkan parameter pada teknik kompilasi yaitu :         a. Metode Pemindahan Nilai ( Pass-by-Value) :           Metode ini mengirimkan nilai parameter ke fungsi atau prosedur yang dipanggil. Dalam metode                ini, salinan nilai parameter dibuat di dalam memori dan digunakan oleh fungsi atau prosedur                     tersebut. Perubahan pada nilai parameter di dalam fungsi tidak akan mempengaruhi nilai aslinya                di luar fungsi. Metode ini digunakan untuk melindungi nilai asli parameter dari perubahan yang                mungkin terjadi di dalam fungsi.           Contoh :                   Outputnya :                
Baca selengkapnya