FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - KALKULUS 1

 FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

• Fungsi 'f ' adalah suatu aturan yang memetakan setiap objek x dalam satu himpunan (daerah asal) dengan tepat satu nilai f(x) dari himpunan kedua (daerah hasil).

• Persamaan fungsi, ditulis dengan y = f(x) dengan x disebut variabel bebas dan y veriabel tak bebas, dimana nilai y tergantung pada nilai variabel bebas x.

• Grafik fungsi y = f(x)adalah himpunan semua titik (x, y) di  R² , sedemikian rupa sehingga (x, y) merupakan pasangan bilangan berurut.

Model - model Matematika

• Aplikasi Termodinamika.Menurut hukum gas ideal, besarnya tekanan P tergantung pada volume (V) dan temperatur (T). Persamaannya adalah :

• Aplikasi Fisika.Kecepatan dan tinggi peluru yang ditembakkan dengan kecepatan awal vo pada sudut 'A' dari horizontal diberikan oleh persamaan :

• Aplikasi Kimia. Jika konsetrasi suatu zat ,mula-mula nol,dan jika laju perubahan konsetrasi adalah konstan, maka konsentrasi pada waktu tertentu diberikan oleh persamaan :

Klasifikasi Fungsi :

-) Fungsi-fungsi Aljabar

• Fungsi Polinomial.
• Fungsi Rasional.
• Fungsi Irrasional.

-) Fungsi-fungsi Khusus

• Fungsi dengan banyak persamaan.
• Fungsi dengan nilai mutlak.
• Fungsi genap/ganjil.
• Fungsi periodik
• Fungsi tangga satuan.

-) Fungsi-fungsi  Transendent

• Fungsi trigonometri.
• Fungsi invers trigonometri.
• Fungsi logaritma asli
• Fungsi eksponensial

Contoh :

-) Fungsi  Surjektif

        Fungsi Surjektif merupakan fungsi yang daerahnya merupakan hasil dari sekelompok teman, yang artinya setiap anggota di daerah teman, mempunyai pasangan dengan anggota himpunan daerah asal (sepasang anggota himpuanan asli dengan daerah kawan boleh bersamaan).

        Jadi maksudnya jumlah anggota daerah asal ≥  jumlah anggota daerah kawan.

Contoh :

        Manakah dari empat diagram panah berikut yang merupakan fungsi surjektif.

-) Fungsi Injektif

Contoh :

        Manakah  diantara berikut ini yang merupakan diagram panah yang menunjukkan fungsi injeksi ?

-) Fungsi Bijeksi

            Fungsi bijeksi yaitu fungsi dimana setiap anggota di daerah asal cuma mempunyai satu mitra dengan daerah sahabat, dan sebaliknya setiap anggota perkumpulan daerah sahabat hanya mempunyai satu mitra dengan daerah asal. Fungsi bijak adalah kombinasi dari fungsi subjektif dan fungsi injeksi dan sering disebut sebagai korespondensi satu-ke-satu.

Jumlah anggota dari daerah asal = jumlah anggota kawasan sahabat.

Contoh :

        Manakah dari diagram panah berikut yang menunjukkan fungsi bijak ?

Jawaban :

                        Fungsi f : A -> B disebut fungsi korespondensi satu-ke-satu, jika f merupakan fungsi subjektif  serta fungsi injeksi. Berdasarkan konsep ini, maka diagram panah yang menunjukkan fungsi bijak yaitu gambar (2) dan (4).

Rabu, 31 Maret 2021    

-) FUNGSI KUADRAT

    A. Definisi

        

        Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi yang pangkat variabel pengubahnya tertinggi dua.

        Bentu umum : y = ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c ϵ R

    B. Grafik Fungsi Kuadrat 

        Grafik fungsi kuadrat berupa parabola .

    

        1. Jika a > 0 maka parabola terbuka ke atas.

  

        2. Jika a < 0 maka parabola terbuka ke bawah 

    C.Titik Potong Terhadap Sumbu-sumbu koordinat.

        1. Titik potongterhadap sumbu-y

            Jika y = ax² + bx + c memotong sumbu-y, maka x = 0 sehingga y = ax² + bx + c, y = 0

            

        2. Titik potong terhadap sumbu - x

            Agar fungsi kuadrat memotong sumbu - x, maka y = 0 sehingga ax² + bx + c = 0

(x – x₁)(x - x₂) = 0

            Koordinat titik potongnya (x₁ , 0) dan (x₂, 0).

    D. Harga Ekstrim Fungsi Kuadrat

            1.       Harga Maksimum.

                Jika a > 0 (grafik fungsi kuadrat terbuka ke bawah), y = ekstrim maksimum koordinat titik maksimum.            

            

            2.  Titik Minimun.

        Jika a > 0 (grafik fungsi kuadrat terbuka ke atas), y = esktrim minimum koordinat titik minimum.

    E. Menentukan Persamaan Fungsi

        

         1. Apabila diketahui koordinat puncak (xp - yp), Pergunakan rumus 

                    

y = a (x - xp) + yp

        2. Apabila diketahui titik potong dengan sumbu - x, yaitu (x₁ , 0) dan (x₂, 0),Pergunakan rumus.

 

y = a (x - x₁) (x - x₂).

        3. Untuk lainnya, pergunakan rumus  y =  ax² + bx + c

-) Kegunaan Distriminan Pada Fungsi Kuadrat.

     a. Hubungan parabola dengan sumbu -x 

1. D > 0 --> parabola memotong sumbu - x di dua titik.
2. D = 0 --> parabola menyinggung sumbu - x
3. D < 0 --> parabola tidak memotong ataupun menyinggung.       

            Jika  D < 0 --> fungsi kuadrat memiliki harga definit.             

        

        1). Definit Positif :

              D < 0 dan a > 0 --> parabola di atas sumbu - x. 

    

        2). Definit Negatif :  

              D < 0 dan a < 0 --> parabola di bawah sumbu - x.         

    b. Hubungan parabola dengan garis lurus.

1. D > 0 --> garis memotong parabola di dua titik.
2. D = 0 --> garis menyinggung parabola.
3. D < 0 --> garis tidak memotong ataupun menyinggung parabola.       

Contoh Soal :

        Persamaan  grafik fungsi kuadrat pada gambar adalah...

-) GRAFIK FUNGSI TRIGONOMETRI

    

    Grafik fungsi trigonometri adalah penyajian fungsi trigonometri kedalam bentuk diagram cartesius.

    Persamaan dan perbedaan antara grafik fungsi sinus, grafik fungsi kosinus dan grafik fungsi tangen.

1.     Persamaan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen adalah ketiganya merupakan fungsi berkala atau fungsi periodik yang berulang untuk periode tertentu.

2.     Perbedaan grafik fungsi sinus, cosinus, dan tangen adalah sebagai berikut :   

	Kekontinuan	Periodik	Range
sinus	Kontinu di tiap titik sudut	P = 2x	-1 ≤ sin x ≤ 1
cosinus	Kontinu di tiap titik sudut	P = 2x	-1 ≤ cos x ≤ 1
Tangen	Diskontinu . Asimtosis di x = k . п + л/2	P = п	-∞ ≤ sin x ≤ ∞

Grafik fungsi trigonometri dasar sanggup dibagi menjadi beberapa grafik fungsi y = sin x, y = tan x dan y = cos  x. Grafik trigonometri tersebut di gambarkan dalam kondinat cartesius dua sumbu yakni sumbu x untuk nilai sudut maupun sumbu y untuk nilai fungsi. 

Berikut citra umum grafiknya.

Sumbu x pada grafik fungsi trigonometri di atas merupakan nilai sudut yang panjangnya sama ibarat keliling bulat (2пr).Sumbu tersebut mempunyai 360^° yang setiap satuan derajatnya bernilai 1^° . Namun nilai sudutnya setiap satuan radiannya diubah dalam bentuk п radian. Sedangkan sumbu y dalam grafik trigonometri diatas melambangkan nilai fungsi. Cara menghitungnya sama dengan jari-jari bulat setiap satu satuan nilai fungsinya. 

Dalam grafik fungsi trigonometri terdapat beberapa komponen pentin g yaitu diantarannya :

1. Nilai fungsi maksimum yakni nilai koordinat fungsi paling tinggi yang sanggup dicapai.
2. Nilai fungsi minimum yakni nilai koordinat fungsi paling rendah yang sanggup dicapai.
3. Perioda fungsi yakni besar interval sudut yang diharapkan dalam melaksanakan satu putaran fungsi.

Dibawah terdapat klasifikasi lengkap mengenai gambar grafik fungsi trigonometri dasar ibarat fungsi y = sin x, y = tan x dan y = cos x. Berikut klasifikasi selengkapnya :

1. Grafik Sinus

          Grafik fungsi trigonometri yang pertama akan saya bahas ialah grafik fungsi sinus Grafik trigonometri untuk fungsi sinus dasar ialah fungsi y = sin x .

  Adapun gambar grafiknya yaitu sebagai berikut :

            Keterangan grafik fungsi trigonometri di atas :

              ● Nilai fungsi  maksimumnya iala 1.

              ● Nilai fungsi minimumnya ialah -1.

             ● Perioda fungsinya ialah 360^° , jadi setiap kelipatan  360^°fungsinya akan berulang terus.                       

        2. Grafik Cosinus

   Selanjutnya saya akan membahas grafik fungsi trigonometri yaitu grafik   fungsi consinus.Grafik trigonometri untuk fungsi cosinus dasar ialah fungsi y = cos x.    Adapun gambar grafiknya yaitu sebagai berikut :

         Keterangan grafik fungsi trigonometri di atas :

·         Nilai fungsi  maksimumnya iala 1.

·         Nilai fungsi minimumnya ialah -1.

·         Perioda fungsinya ialah 360^° , jadi setiap kelipatan  360^°fungsinya akan berulang terus.

 

        3. Grafik Fungsi Tangen.

     Selanjutnya saya akan membahas grafik fungsi trigonometri yaitu grafik fungsi tangen.Grafik trigonometri untuk fungsi tangan dasar ialah fungsi y = tan x. Adapun gambar grafiknya yaitu sebagai berikut :

          Keterangan grafik fungsi trigonometri di atas :

·         Nilai fungsi  maksimumnya ialah ∞.

·         Nilai fungsi minimumnya ialah -∞.

·         Perioda fungsinya ialah 180^° , jadi setiap kelipatan  180^° fungsinya akan berulang terus.

            Contoh soal Grafik Fungsi Trigonometri :

        

            Tentukan nilai minimum, nilai maksimum dan perode fungsi dari :    

                1. y = 4.sin (2x - 90^°)

               2. y = 4. cos (3x + 60^°)     

               3. y = 8.tan 4x

               4. y = 2 + 3 cos 2x                             

             

            Jawab :

            1. y = 4.sin (2x - 90^°)

                Nilai maksimum = 4 . (1) = 4

                Nilai minimum   = 4 . (-1) = -4

                Periodenya = 360^° / 2 = 180^°

            2.  y = 4. cos (3x + 60^°)

                Nilai maksimum = 4 . (1) = 4

                Nilai minimum   = 4 . (-1) = -4

                Periodenya = 360^° / 3 = 120^°

            3. y = 8.tan 4x

                Nilai maksimum = 4 . (∞) = ∞.

                Nilai minimum   = 4 . (-∞.) = -∞.

             Periodenya = 180^° / 4 = 45^°

           4. y = 2 + 3 cos 2x       

               Nilai maksimum = 2 + 3(1) = 2 + 3 = 5

               Nilai minimum   = 2 + 3(-1) = 2 - 3 = -1

               Periodenya = 360^° / 2 = 180^°

-) LIMIT FUNGSI 

 Limit fungsi merupakan teori yang mendasari kalkulus (diferensi) dan integral), yang konsepnya dirumuskan pertama kali oleh Matematikawa Prancis Augustin - Louis Cauch (1789 - 1821) pada tahun 1821. secara intuitif, pengertian limit fungsi dapat didefinisikan sebagai :

yang berarti bahwa jika x mendekati (x ≠ a), mendekati nilai L.

    1). Limit Fungsi f(x) untuk x --> a, a ≠ 0.

        Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x --> a, a ≠ 0 atau ditulis, dapat dilakukan melalui tiga cara, yaitu substitusi langsung, pemfaktoran, dan rasionalisasi bentuk akar.

Jika dengan cara substitusi langsung dihasilkan bentuk tak tentu .

     ,maka perhingga limit dilakukan dengan cara pemfaktoran atau rasionalisasi bentuk    akar.

 2). Limit Fungsi F(x) untuk x →0

      Perhitungan limit fungsi f(x) untuk x → 0 atau di tulis

,

        Pada prinsipnya sama seperti perhitungan pada

 3). Limit Fungsi f(x) → ~

       ^{Perhitungan limit fungsi yang berbentuk} 

        Jika disubstitusikan langsung menghasilkan bentuk tak tentu

     Sehingga perhitungannya dilakukan dengan cara membagi pembilang f(x) dan penyebut f(x) dan penyebut g(x) dengan xn, yang mana n adalah pangkat tertinggi dari penyebut  f(x). Perhitungan limit fungsi yang berbentuk

    Jika disubsitusikan langsung akan menghasilkan bentuk tak tentu.Sehingga perhitungan dilakukan dengan cara mengalikan denga faktor lawan yaitu:

    ^{Dalam perhitungan limit fungsi aljabar x --> ~ , berlaku :}

  ^{Untuk setiap n  bilangan positif dan a bilangan real, maka}

  Nilai limit fungsi aljabar untuk x →~ pada contoh soal nomor 1 - 3, dapat pula ditentukan dengan menggunakan Rumus berikut ini :

    Nilai limit fungsi aljabar untuk x → ~ pada soal nomor 6-8 dapat pula ditentukan dengan menggunakan Rumus berikut ini :

-) Teorema Limit

    Berikut ini adalah teorema limit yang memuat sifat-sifat limit fungsi.

-) Limit Fungsi Trigonometri

    Limit fungsi trigonometri memiliki bentuk lim x-->a f(x)  dengan f(x) adalah fungsi-fungsi yang memuat perbandingan trigonometri.

    Dari rumus-rumus limit fungsi trigonomteri di atas dapat diperoleh rumus-rumus limit 

     fungsi trigonometri yang lain, yaitu :

     Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi pada limit fungsi trigonometri adalah :

-) Teorema L'Hospital

     Dalam Menentukan nilai  

             

    yang menghasilkan bentuk tak tentu (0/0), dapat digunakan teorema L'Hospital yaitu sebagai berikut :

     Apabila juga masih menghasilkan bentuk (0/0), maka nilai dapat ditentukan dari turunan kedua, yaitu :

    Contoh 1 :

    Hitunglah nilai limit fungsi aljabar berikut ini !

    Pembahasan :

    Jika hasil substitusi adalah 0/0 (bentuk tak tentu), maka tidak dapat dilakukan dengn cara  memasukkan nilai langsung, melainkan harus di faktorkan terlebih dahulu.

    Jadi, hasil faktornya adalah :

      Contoh 2 :

     Hitunglah nilai limit dibawah ini :

    Pembahasan :

    Dengan substitusi  langsung

    Karena diperoleh bentuk tidak tentu, maka harus digunakan cara lain yaitu menggunakan perkalian akar sekawan :

Rabu, 07 April 2021

-) LIMIT FUNGSI ALJABAR

    Limit dapat diartikan sebagai menuju suatu batas, sesuatu yang bersahabat tetapi tidak dapat dicapai. Pada bahsa matematika, keadaan ini biasa disebut limit. Kenapa harus ada limit? karena limit menjelaskan suatu fungsi bila batas tertentu didekati.

 

    Kenapa harus didekati? alasannya ialah pada suatu fungsi biasanya tak terdefinisi pada suatu titik tertentu.Meskipun suatu fungsi seringkali tidak terdefinisi untuk titik tertentu.Akan tetapi masih dapat dicari tahu berapa nilai yang didekati oleh fungsi tersebut apabila titik tertentu makin didekati yaitu limit.

 -) Rumus Limit

    Dalam dunia matematika, limit biasa di tuliskan sebagia berikut.

  Keterangan :

•  Apabila x mendekati a tetapi x tidak sam dengan maka f(x) mendekati L.
• Pendekatan x ke a dapat dilihat dari dua sisi yaitu pada sisi kiri kanan ataupun dengan kata lain x dapat mendekati dari arah kiri dan arah kanan sampai menghasilkan limit kanan.

-) Sifat Fungsi Limit Aljabar

 

    Jika n ialah bilangan lingkaran positif, k konstanta, f dan g ialah fungsi yang memiliki limit di c, maka sifat-sifat yang berlaku yaitu :

-) Macam-macam Metode Limit Aljabar.

• Metode  subsitusi.
• Metode  pemfaktoran.
• Metode membagi dengan pangkat tertinggi penyebut.

Metode mengalikan dengan faktor sekawan

    1. Metode Subsitusi

    Metode subsitusi hanya mengganti perubah yang mendekati nilai tertentu dengan fungsi aljabarnya.

     Contoh :

  2. Metode Pemfaktoran

 

    Metode pemfaktoran digunakan bila metode substusi yang menghasilakn nilai limit tidak terdefinisi.

         Contoh :

3. Metode Membagi Pangkat Tertinggi Penyebut

        Contoh 1 :

         Tentukanlah nilai limit fungsi aljabar dari

     

        Contoh 2 :

                Tentukan nilai limit fungsi aljabar dari :

       

                  

4. Metode Mengalikan Dengan Faktor Sekawan 

         Contoh :

         Tentukan nilai limit dari 

   

 

     

Rabu, 14 April 2021

LIMIT BILANGAN EULER (FUNGSI KHUSUS) & LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

-) LIMIT BILANGAN EULER (Fungsi Khusus)

Nilai 'e' pertama dikenal di matematika memiliki sejarah yang sebaiknya kita ketahui. Tahun 1618 ketika, Napier bekerja pada logaritma (ada pada lampirannya).

'e' adalah konstanta bilangan real yang nilainya mendekati 2.71828 18284 59045 23536..

Pada tahun 1647 saint-vincent menghitung suatu daerah dibawah hiperbola persegi panjang. Apakah dia mengetahui hubungan antara daerah dibawah hiperbola persegi panjang berhubungan dengan logaritma?Hal ini masih diperdebatkan. Saat tahun 1661 Huygens memahami hubungan antara hiperbola persegi panjang dengan logaritma.Dia memeriksa secara ekslisit dan intensif hubungan antara daerah dibawah persegi panjang hiperbola "yx = 1" dan logaritma. Tentu saja, nilai e adalah sedemikian rupa sehingga daerah di bawah hiperbola persegi panjang dari 1 samapai e sama dengan 1. Tetapi karyanya tidak benar-benar diakui karena dia tidak menyebutkan bilangan 'e' secara jelas atau eksplisit.

Namun hal yang mengejutkan, pekerjaan pada logaritma begitu dekat dengan bilangan e, ketika e pertama "ditemukan" itu bukan melalui konsep logaritma sama sekali melainkan melalui studi bunga majemuk.Pada 1683 Jacob Bernoulli memandang masalah bunga majemuk dan dalam memeriksa bunga majemuk kontinyu, ia mencoba untuk menemukan batas dari (1 + 1/n)n sebagai n cenderung tak terhingga.

jacob Bernoulli  menggunakan teorema  binomial untuk menunjukkan bahwa batas itu harus terletak antara 2 dan 3 sehingga kita bisa menganggap hal ini menjadi pendekatan pertama ditemukannya e.Dia juga menerima ini sebagai definisi e.Akan tetapi jelas tidak mengakui hubungan antara karyanya ada katanya dengan pada logaritma.

saat ini tentu saja dari persamaan x = at, kami menyimpulkan bahwa t = log x dimana basis log nya a.Dari sini kita benar-benar berpikir bahwa log adalah sebuah fungsi, sementara awal logaritma terfikirnya atau diciptakan adalah sebagai alat bantu perhitungan. Jacob Bernoulli lah yang pertama kali memahami bahwa fungsi log adalah kebalikan dari fungsi eksponensial.

Pada tahun yang sama itu Leibniz menulis surat kepada Huygens dan dalam hal ini ia menggunakan notasi b untuk apa yang sekarang kita sebut e. Akhirnya nomor e punya nama (bahkan jika tidak salah satu yang sekarang) dan itu yang diakui.Mungkin sekarang sobat allmipa bertanya kenapa kita tidak belajar sajarah bilangan 'e' dari pertama kali nilai 'e' muncul. Alasannya adalah karena walaupun pekerjaan yang sebelumnya kita bahas tidak menyebutkan atau mengatur tentang apa itu 'e', perlahan-lahan setelah 'e' didefinisikan kita mulai menyadari bahwa karya sebelumnya relevan. Kilas bagian dari pemahaman tentang nlai 'e'.

-) LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

Limit fungsi trigonometri merupakan nilai terdekat sebuah sudut fungsi trigonometri. Untuk menghitung limit fungsi trigonometri bisa langsung anda subsitusikan seperti halnya fungsi aljabar. Namun meski demikian ada pula fungsi trigonometri yang perlu diubah terlebih dahulu ke identitas trigonometri untuk limit yang tak tertentu yakni jika anda langsung subsitusikan nilainya bernilai 0, atau bisa pula untuk limit yang tak tentu tidak harus menggunakan identitas namun menggunakan teorema limit trigonometri.Bahkan ada pula yang menggunakan identitas dan juga teorema.

Limit fungsi trigonometri x mendekati suatu bilangan 

Untuk dapat menentukan berapa nilai limit fungsi trigonometri untuk x mendekati sebuah bilang c sebenarnya bisa dilakukan dengan mudah. Caranya adalah dengan melakukan substitusi nilai c pada fungsi trigonometri. Berikut ini adalah persamaan rumus limit fungsi trigonometri:

Limit Fungsi Trigonometri Untuk x mendekati 0

Ketika membahas mengenai limit fungsi trigonometri, ada banyak sekali rumus yang disebut dengan property untuk menyelesaikan soal limit fungsi trigonometri. Untuk kumpulan property tersebut bisa anda lihat dalam daftar rumus limit trigometri berikut ini :

Rabu, 21 April 2021

KONTINUITAS

Kontinuitas atau continuity dalam istilah Bahasa inggrisnya.Kontinuitas dapat disamakan artinya dengan kesinambungan.Lawan kontinuitas adalah diskontinuitas, dimana jika kontinuitas itu kesinambungan maka diskontinuitas adalah tak kesinambungan.Kontinuitas suatu fungsi kurang lebih sama artinya dengan kesinambungan suatu fungsi.

-) syarat kontinuitas suatu fungsi

Suatu fungsi dikatakan kontinu atau tidak apabila memenuhi beberapa syarat.Simaklah defini berikut ini :

Jika salah satu diantara ketiga syarat tidak terpenuhi, maka fungsi f(x) tidak kontinu pada interval x = a.