Sistem Persamaan Linier-Puput Amaliyah-

 PERSAMAAN LINIER

1. Sebuah garis dalam bidang x dan y secara umum dapat ditulis dalam bentuk

2.secara umum didefinisikan sebuah persamaan linier dengan n buah variabel.

3.Dimana a1,a2,a3,....,an adalah konstanta bilangan real.

SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)

1.Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier di dalam variabel-variabel

di sebut dengan sistem persamaan linier atau sistem linier.

2.Urutan bilangan S1,S2,S3, ..... Sn di namakan sebuah pemecahan dari sistem tersebut jika

adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap 

persamaan dalam sistem tersebut.

MENCARI PENYELESAIAN SPL :

1. Metode grafik

langkah 1 :

Gambarkan grafik masing-masing persamaan pada bidang cartesius.

langkah 2 :

a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka himpunan penyelesaiannya tepat memiliki

     satu anggota.

b. Jika kedua garis sejajar,maka himpunan penyelesaiannya tidak memiliki anggota.

     Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.

c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiannya memiliki anggota yang tak hingga 

     banyaknya.

a.Memiliki Solusi

B.Tidak Memiliki Solusi

C.Soulusi Tak Terhingga

2.Metode Substitusi

Langkah 1 :

pilihlah salah satu persamaan (jika ada pilih yang sederhana),kemudian nyatakan x sebagai 

fungsi y atau y sebagai fungsi x

Langkah 2 :

Subtitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang lain.

CONTOH :

Diketehui ada dua persamaan 

            x + y = 4                     (1)

          4x + 3y = 13               (2)

dari persamaan  (1) x + y = 4 di dapat dari y = 4 - x     (3)

persamaan (3) di substitusikanke persamaan             (2)

           4x + 3y = 13

   ax + 3(4 - x) = 13

   4x + 12 - 3x = 13

            x + 12 = 13

                     x = 1

 nilai x = 1 disubstitusikan ke persamaan y = 4 - x.diperoleh 

y = 4 - 1

y = 3

jadi solusi untuk persamaan (1) dan (2) adalah {(1,3)}

3.Metode Eliminasi

Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi perubah y sedangkan nilai y di cari dengan cara

mengeliminasi perubah x

CONTOH :

 

 

4.Elimasi Gaus

Merubah sistem persamaan linier menjedi bentuk matriks [A][X] = [C] 

Terdiri dari 2 tahap :

(1). Forward elimination of unknowns (membentuk Eselon Baris)

(2). Back substitution.

a.Eselon Baris

1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari angka nol,maka bilangan tak nol

     pertama adalah 1 (dinamai 1 utama)

2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0,maka baris seperti itu

    dikelompokkan   bersama-sama di bawah matriks.

3. Didalam sebarang dua baris yang beruntun yang tidak terdiri seluruhnya dari 0,

     maka 1 utama pada baris yang lebih rendah,letaknya lebih jauh ke kanan dari pada

    1 utama pada baris yang lebih tinggi.      

CONTOH :Bentuk Eselon Baris

 Gunakan OBE (operasi baris elementer) untuk membentuk matrik ke dalam bentuk

eselon baris.

     

CONTOH KASUS :

Forward Elimination :

b.Back Substitution

-) Setelah didapat hasil x4 = 4

-) Lakukan subsitutisi x4 ke pers.diatasnya untuk mencari x3.

-) Lakukan lagi subsititusi x3,dan x4 ke pers.diatasnya untuk mendapatkan x2.

-) Terakhir lakukan subsititusi x2,x3,x4 ke pers.Pertama untuk mendapatkan x1.

5. Metode Gauss-Jordan

Proses lanjutan dari eliminasi gauss.Menggunakan bentuk matrik eselon baris yang di reduksi.

Contoh :