Diagonalisasi Matriks
Diagonalisasi Matriks
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedekimian rupa sehingga, P-'AP adalah matrik diagonal.Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.
Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :
1. Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen
2. carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai dengan eigen, P1, P2, ....., Pn,
3. Bentuklah matrik P = [P1, P2, ...., Pn]
4. Hitunglah invers dari P
5. Hitunglah D = P-'AP dengan hasil diagonal utamanya 𝜆1, 𝜆2, ...., 𝜆n
Contoh soal :
Carilah diagonalisasi matrik
* Bentuk, 𝜆|-A yaitu :
* Persamaan Karakteristiknya adalah :
* Vektor eigen x dari A di peroleh dari :
* Matriks P yang mendiagonalisasi A adalah :
Diagonalisasi Ortogonal
Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P–1AP (=PTAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A
secara ortogonal.
Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :
(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,
(2). A matrik simetris,
(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.
Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :
(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x1, x2, ... , xn.
(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,
dari vektor basis pada langkah (1).
(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p1 p2 … pn]
Contoh :
Carilah matrik P yang mendiagonalisasikan matrik A, secara ortogonal bilamana
Jawab :
Menentukan nilai eigen dan vektor eigen A. Persamaan karakteristik A diperoleh dari :
det( 𝜆| – A) = 0
Persamaan karakteristiknya adalah : l3 – 3l2 – 9l + 27 = 0. dan akar-akar atau nilai eigennya adalah : l1 = l2 = 3, dan l3 = –3.
Vektor eigen x dari A diperoleh dari : (lI – A)x = 0
*
Komentar
Posting Komentar