BARIS RUANG DENGAN BARIS,BASIS RUANG DENGAN KOLOM,RANK,NULITAS

    #DIMENSI

Definisi:

    Suatu ruang vektor tak nol V di sebut berdimensi terhingga {v1, v2, ..., vn} yang membentuk suatu baris.jika tak ada himpunan yang seperti itu,maka V di sebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi terhingga.

TEOREMA: 

    jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v1, v2, ...., vn} adalah sembarang basis,maka: 

            * Setiap himpunan dengan lebih dari n vektor adalah tak bebas secara linear.

                * Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang merentang V.

TEOREMA: 

        * Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai                   jumlah vektor yang sama.

        * Suatu ruang vektor berdimensi terhingga V,yang dinyatakan dengan dim(V),            didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V.Ruang vektor            nol mempunyai dimensi nol.

Contoh:

Menentukan basis dan dimensi ruang solusi dan SPL homogen.

            x + y + z + w = 0

          -x + 2y - w = 0

Penyelesaian:

    

kita dapat menyatakan sistem ini dalam bentuk sebagai berikut:

Jadinya:

merentang ruang solusi tersebut.Karena v1 dan v2 tidak saling berkelipatan satu sama lain maka kedua vektor ini saling bebas linear.Jadi (v1, v2) adalah basis bagi ruang solusi SPL yang dimaksud yang berdimensi 2.

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM 

        * Jika A adalah matrik mxn maka sub ruang Rⁿ yang di rentang oleh vektor-vektor

             baris dari A disebut ruang baris dari A.Subruang dari R^m yang direntang oleh                          vektor-vektor kolom dari A di sebut ruang kolom dari A. 

TEOREMA 

        * Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris                 dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang                baris U dan vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris                                 membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U.

misalkan matriks :

matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu :

basis ruang baris diperoleh dengan cara, Mentransposkan terlebih dahulu matriks A,lakukan OBE pada A^t, sehingga diperoleh :

kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama bersesuian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :

Definisi RANK dan NULITAS

Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks A disebut rank dari  A dinyatakan sebagai nulitas (A).Tentukan rank dan nulitas dari matriks berikut ini :

karena  terdapat 3 baris tak nol (atau secara ekuivalen,3 satu utama),ruang baris dan ruang kolom keduanya berdimensi 3 sehingga rank dari (A)=3.Untuk menentukan nutulitas dari A,maka kita harus menentukan dimensi dari ruang solusi linier Ax=0.Sistem persamaan yang bersesuaian adalah 

Kedua vektor tersebut membentuk basis untuk ruang solusi,sehingga nulitas (A) = 4