-) Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan adalah bilangan rasional yang dapat ditulis dalam bentuk a/b (a per b) atau dengan kata lain mempunyai pembilang dan penyebut, yang dimana a dan b merupakan bilangan bulat, b tidak sama dengan nol, dan bilangan a bukan kelipatan bilangan b.
Bilangan pecahan terbagi menjadi menjadi 2 yaitu :
1. Pecahan Berulang
Contoh : 0, 66.... = 4/6
2. Pecahan Berhenti
Contoh : 0,5 = 1/2
-) Bilangan Bulat (Z)
Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan dan negatifnya. Bilangan bulat dituliskan tanpa komponen desimal atau pecahan.
Contoh : -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4
Bilangan bulat terbagi menjadi 2 yaitu :
1). Bilangan Bulat Negatif (-)
Merupakan bilangan yang terletak disebelah kiri angka nol (0) pada sebuah garis bilangan.
Contoh : -1, -2, -3, -4, -6, -7, -8, ... dst.
2). Bilangan Cacah (W)
Bilangan cacah adalah himpunan bagian dari bilangan bulay yang dimulai dari angka 0 dan di lanjutkan dengan bilangan bulat positif, yaitu {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Bilangan cacah terbagi menjadi dua yaitu :
-) Bilangan Nol
-) Bilangan Asli
Merupakan bilangan yang terletak disebelah kanan angka nol pada sebuah garis bilangan.
Contoh : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .... dst
Bilangan asli terbagi menjadi 4 yaitu :
1). Bilangan Komposit
Bagian dari bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor, sehingga bilangan komposit dapat dibagi lagi oleh bilangan lain selain angka 1 dan bilangan itu sendiri.
Contoh : 4, 6, 8, 9
2). Bilangan Prima
Bilangan prima adalah bilangan lebih dari 1 dan hanya bisa dibagi dengan angka 1 atau bilangan itu sendiri
Contoh : 2, 3, 6, 8
3). Bilangan Genap : 2, 4, 6, 8, ...
4). Bilangan Ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, ...
Sifat-sifat yang ada pada bilangan asli
Sifar-sifat urutan :
1). Trikotomi
Yaitu jika x dan y elemen bilangan-bilangan riil maka berlaku sebagai berikut :
x < y atau x = y atau x > y
2). Ketransitifan
Yaitu jika x < y maka y < z, maka x < z
3). Penjumlahan
Yaitu jika x < y maka x + z < y + z
4). Perkalian
Misalkan z > 0, dan x < y maka z.x < z.y dan
Misalkan z < 0, dan x < y maka z.x > z.y
PERTIDAKSAMAAN
DAN
NILAI MUTLAK
1. Pengertian Pertidaksamaan
Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yang mempunyai variabel dengan menggunakan tanda penghubung separti :
< (kurang dari)
≤ (kurang dari sama dengan)
> (lebih dari)
≥ (lebih dari sama dengan)
≠ (tidak sama dengan)
2. Sifat-sifat Pertidaksamaan
1). Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama.
jika a < b maka :
a + b < b + c
a - b < b - c
2). Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
jika a < b,dan c adalah bilangan positif, maka :
a.c < b.c
a/b < b/c
3). Tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka :
a.c > b.c
a/b > b/c
4). Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas posisif masing-masing di kuadratkan.
jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka : a2 < b2
3. Jenis-jenis pertidaksamaan
1). Pertidaksamaan linear
2). Pertidaksamaan Kuadrat
3). Pertidaksamaan Pangkat Tinggi
4). Pertidaksamaan Pecahan
5). Pertidaksamaan Bentuk Akar (Irrasional)
6). Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Berikut adalah beberpa jenis dari pertidaksamaan :
1). Pertidaksamaan Linear
Peridaksamaan linear merupakan pertidaksamaan yang dimana salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linear di dalam x.
pertidaksamaan terbagi menjadi dua yaitu :
a. Pertidaksamaan Linear satu variabel (PLSV)
Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan suatu kalimat terbuka yang hanya mempunyai satu variabel dan berderajat satu serta memuat hubungan (<, >, ≥ atau ≤).
Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan linier satu variabel,diantaranya yaitu:
sifat Pertidaksamaan Linear Satu Variabel dapat dilakukan dengan cara subsitusi, mengurangkan, menjumlahkan, mengkali, ataupun membagi kedua ruas pertidaksamaan dengan bilangan yang sama.
Pertidaksamaan A < B equivalen dengan :
A + B < B + C
A - C < B - C
AxC < BxC, bila C > 0 untuk seluruh x
AxC > BxC, bila C < 0 untuk seluruh x
A/C < B/C, bila C > 0 untuk seluruh x
A/C > B/C, bila C < 0 untuk seluruh x
Perlu kalian catat, beberapa sifat diatas juga berlaku untuk lambang ">" atau "<".
Contoh : x + 6 ≥ 8
x + 6 - 6 ≥ 8 - 6
x ≥ 2
b. Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Pertidaksamaan Linier Dua Variabel (SPLDV) merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang didalamnya memuat dua variabel. Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan (<, >, ≥ atau ≤).
Maka, bentuk dari pertidaksamaan linier bisa kita tuliskan seperti berikut ini:
ax + by > c
ax + by < c
ax + by ≥ c
ax + by ≤ c
Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan linier dua variabel,diantaranya yaitu :
1). Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linier dua variabel.
2). Lukis grafik/garis dari persamaan linier dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius.
3). Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyantaan yang benar,artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, nama=un apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.
Contoh :
Tentukan daerah penyelesaian dan pertidaksamaan linier dua variabel berikut.
3x + y < 9
Grafik penyelesaian :
(Garis putus-putus digunakan menunjukkan tanda ketidaksamaan < atau > dengan kata lain tanda ketidaksamaan tanpa sama dengan).
uji titik (0, 0)
3(0) + 0 < 9
0 < 9 (benar)
Karena pernyataan menjadi benar, maka (0, 0) termasuk penyelesainya. Sehingga daerah yang memuat (0, 0) merupakan penyelesainya.Dalam hal ini yang daerah bersih merupakan penyelesainya dari pertidaksamaan.
2). Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan Kuadrat adalah bentuk "penghubung" antara ruas kanan dan kiri merupakan penggunaan tanda pertidaksamaan seperti kurang lebih (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>), lebih dari sama dengan (≥) dengan pangkat tertinggi adalah 2.
Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan kuadrat, diantaranya yaitu:
1). Ruas kanan dibuat menjadi nol
2). Faktorkan
3). Menentukan titik uji
4). Menentukan tanda untuk masin-masing daerah penyelesain
5). Menentukan himpunan penyelesaian
• Tentukan harga nol, yaitu nilai variabel yang menyebabkan nilai faktor sama dengan nol.
1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam (•)
2.Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih (°)
• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
•Tanda pada garis bilangan berselang-seling, kecuali jika ada batas rangkap (harga nol yang muncul 2 kali atau sebanyak bilangan genap untuk pertidaksamaan tingkat tinggi), batas rangkap tidak merubah tanda.
Cara menentukan himpunan penyelesaian :
- Jika tanda pertidaksamaan > 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (+).
- Jika tanda pertidaksamaan < 0 berarti daerah pada garis bilangan yang diarsir adalah yang bertanda (–).
Contoh :
3). Pertidaksamaan Pangkat Tinggi
Pertidaksamaan Pangkat Tinggi merupakan pertidaksamaan dengan derajat lebih dari dua.
bentuk dari “penghubung” antara ruas kanan dan kiri meliputi diantaranya yaitu: kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) dan lebih dari sama dengan (≥).
Tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pangkat tinggi, diantaranya yaitu:
1). Memindahkan seluruh suku ke dalam satu ruas, yaitu pindahkan pada ruas kiri sehingga tidak akan menyisakan suku atau bersisa nol pada ruas kanan.
2). Memfaktorkan bentuk tersebut ke dalam bentuk dengan derajat lebih rendah.
3). Buat garis bilangan dan tentukan Himpunan penyelesaiannya.
Contoh :
4). Pertidaksamaan Pecahan
Pertidaksamaan pecahan adalah pertidaksamaan yang terdiri dari pembilang dan penyebut, pertidaksamaan pecahan ini berbentuk hampir sama dengan pecahan pada bilangan real. Bentuk umumnya juga masih sama dengan pertidaksamaan sebelumnya yang terdiri dari: kurang dari (<), kurang dari sama dengan (≤), lebih dari (>) dan lebih dari sama dengan (≥).
Bentuk baku dari pertidaksamaan pecahan yaitu :
Berikut ini adalah tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan, diantaranya yaitu:
1). Ruas kanan dijadikan nol
2). Samakan penyebut di ruas kiri
3). Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
4). Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
5). Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah
• Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).
• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval.
Contoh :
5). Pertidaksamaan Bentuk Akar (Irrasional)
Pertidaksamaan bentuk akar adalah pertidaksamaan yang variabelnya terdapat dalam tanda akar.
Pertidaksamaan mempunyai bentuk baku yaitu :
Berikut ini adalah tahapan dalam penyelesaian pertidaksamaan pecahan, diantaranya yaitu:
1). Menguadratkan kedua ruas.
2). Pengecekan syarat akar, di mana kita akan memastikan apabila fungsi di dalam akar pangkat dua haruslah bernilai positif atau sama dengan nol begitu juga dengan konstanta di ruas lainnya.
3). Tentukan interval yang memenuhi penyelesaiannya, Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval
Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai).
Contoh :
6). Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Persamaan Nilai Mutlak adalah suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya.
Nilai mutlak atau modulus adalah nilai suatu bilangan riil tanpa adanya tanda tambah (+) atau kurang (–).
Nilai Mutlak
Nilai mutlak dituliskan dengan (x) didefisinikan dengan |x| = x jika x ≥ 0 dan = -x jika
x < 0
Misal : | 5 | = 5, | -5 | = -5, | 0 | = 0
-) SIFAT-SIFAT NILAI MUTLAK
1). | ab | = | a | | b |
2). | a/b | = | a | / | b |
3). | a + b | = | a | + | b |
4). | a - b | = | a | - | b |
Contoh Soal :
-) DAFTAR INTERVAL
Cara Menentukan Garis Bilangan :
1. Jika tanda pertidaksamaan ≥ atau ≤, maka harga nol ditandai dengan titik hitam ( • )
2.Jika tanda pertidaksamaan > atau <, maka harga nol ditandai dengan titik putih ( ° )
• Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval di garis bilangan. Caranya adalah dengan memasukkan salah satu bilangan pada interval tersebut pada persamaan di ruas kiri.
Komentar
Posting Komentar